<a href="/generic/web/viewer.html?file=%2Fpdf%2Fchapter-0.pdf">Fundamental groups of small covers</a>

最近更新[2017.8.17]

<a href="/generic/web/viewer.html?file=%2Fpdf%2Fchapter-1.pdf">1 Introduction</a>

1.1 small cover

1.2 examples of small covers

##<a href="/generic/web/viewer.html?file=%2Fpdf%2Fchapter-2.pdf">2 (Dual) Cell structure</a>

2.1 definitions and constrction

2.2 calculation and example

2.3 connection with group of Deck transformation

Perfect Cell Structure

这是我目前做的入门东西，我们的动机是尝试证明small cover 范畴中的Borel Conjecture 是对的，初步研究一下small cover 的基本群. Borel Conjectrue 是在aspherical 流形中，基本群同构蕴含着流形间的同胚. 弱一点的结论，aspherical 流形中，基本群同构蕴含着流形间的同伦等价已经知道. 另外在三维Haken manifold 中这个结论是正确的，我们目前的思路是根据Haken manifold 中的思路来考虑. 这也由small cover 拥有很多好的性质，现在有种感觉，我所构造的那种cell stucture 很自然，很可能可以用来证明small cover 中的Borel Conjecture. 这篇blog 用来不定时更新记录我们的进展。

2017年8月16日 南京大学蒙民伟楼1104 始记。

2017.8.17

今天，给第二小节的图加了一些标号。

一个idea，已知两个small cover $M_P,M_Q$的基本群$\pi_1,\pi_2$的表示，和$\pi_1$到$\pi_2$的一个同构$f$. 右边$\pi_1$去掉一个生成元$x$等价于$M_P$对应的面不粘，由$f$传到$\pi_2$等价于添加一个关系$f(x)$，等价于$M_Q$添加一个二维cell（边界为$f(x)$）. 问题是虽然左边越来越简单，但右边看起来很奇怪。另外Loop theorem ,Sphere Theorem 似乎都是三维中的。